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它的求解非常简单：这个方程的解只用到了加减乘除等基本的这个公式我们初中的时候就已经用得驾轻就熟了，而且它的推导其实也非常容易，通过配方法就可以得到。方程中的系数a、b、c，理论上可以是任意的数，比如有理数、实数，甚至复数都可以。它的系数分别是a=1、b=-1、c=-1，把它们代入求根公式(1.2式)之后，马上就可以得到该方程的两个解：观察这个解的表示形式，我们发现除了加减乘除这四个算术运算之外，它还有一个开2次方的运算，所以一般来说二次方程的解都会超出有理数之外，因为有理数的开方运算不能保证其结果一定是有理数，比如上面那个方程的解中含有了这样的无理数，所以方程的解不是有理数。这样的无理数，它无非就是这个方程的根而已。对于一个具体的方程，如果它的解可以用方程系数的有限次加减乘除和开方（开2次、3次，4次等等）运算表示出来，那么我们就称这个具体的方程有为方程的系数，是方程的未知变量，是任意的正整数。这类方程是只有一个变量的幂次方程，未知变量的最高次幂称为多项式方程的次数，等号左边那一串我们就称之为次多项式。所以，所谓的多项式方程，其实就是让一个多项式等于0，这样就得到了该多项式对应的方程——或者等，那么就不是多项式方程，也不是我们这个系列文章中所要讨论的问题，我们只讨论形如(1.5)式的一元多项式方程。如无特殊说明，我们下文中所涉及到的“方程”二字均指形如(1.5)式的一元多项式方程。根号里面是负数，如果用复数表示那就是：这样一个包含了虚数i的复数解，它也毫无疑问是根式解。其中，a、b、c、d都是方程的系数，我们这里不妨也假设它们为有理数。，所以，不失一般性，我们可以把方程两边同时除以a，使得3次项的系数为1，这样就得到：现在作一个换元操作，把上面这个方程化简为没有二次项的形式。我们令：然后代入(1.7)式，一顿代数运算操作猛如虎之后，一般的三次方程变为关于的方程：其中，p和q是由b、c、d表示出来的两个新的系数，它们分别是：(1.9)式是一个关于的缺二次项(缺少项)的三次方程。的表达式，就可以利用(1.8)式反解出，从而就得到一般三次方程的根的表达式。，接下来的换元操作堪称数学上的一个神来之笔！的取值，我们总能够找到一个相应的的值，使得(1.10)式成立。的方程：看出来了没有？惊不惊讶？如果我们把看成一个整体，那么上面的方程就是一个关于的二次方程。而对于二次方程的求解，我们已经有了上面的求根公式——(1.2)式，把方程(1.11)的系数代入求根公式之后我们就可以得到：两边开3次方根之后，我们就得到的两个值：得到了的表达式之后，我们就可以通过(1.10)式解出的表达式。巧合的是，无论取哪个值，最终的表达式都是如下：这个公式就是著名的，然后再通过(1.8)式就可以得到，从而就可以得到首项系数为1的、一般的三次方程(1.7式)的求根公式。值，也就是1.12式，其实只是缺二次项的三次方程(1.9式)的其中一个解，它还有另外两个解，只不过解不一定是实数，有可能是复数。因此，关于缺二次项的三次多项式方程的完整的卡尔达诺求根公式是：其中，，，也称为3次其中：，。

的具体数值：你会发现非常困难，因为这个方程的左边是一个超越函数，这一类函数我们很难求出它的零点的具体表达式。但是，我们根据介值定理却很容易证明它的零点的存在性。所以，存在性的证明这一类问题往往比求具体的问题的解要容易得多。(16x^5-20x^3+5x=1/2)是没有根式解的，即它的根没办法通过系数的有限次加减乘除和开方运算给表示出来。然而，这个方程是有解的，它的一个解是，只不过这个解是用三角函数（等价于级数解）的形式给表示出来的。我们之所以关心根式解这样一种表示形式，就是因为它是比较简单的，也是我们从解二次、三次和四次方程中所熟悉的一种表示形式。它是有根式解的。因为这个方程对应的多项式可以分解成两个次数低于5次的多项式因子的乘积，即有：其中，x=1是方程的一个根。另外的根由这个四次方程决定：而对于四次方程，我们已经有了求根公式，把系数都代入求根公式之后就可以得到方程的根式解。所以，对于这个具体的五次方程，它是根式可解的。它就是没有根式解的，即它的根不能表达为系数的有限次加减乘除和开方运算的形式。，它的地位跟自然数中的素数一样，是构成所有多项式的。它对应的多项式在有理数域上是一个不可约的多项式，即不能分解为两个次数更低的多项式因子的乘积。然而，这个方程却是有根式解的，其中的一个根就是实数，还有四个复数根都能用加减乘除和开方运算表示出来。，为什么它是根式可解的呢？因为这个方程对应的伽罗瓦群是可解群。而另外一个方程之所以不存在根式解，就是因为它的伽罗瓦群不是可解群。多么简洁和有力的判据！伽罗瓦理论可谓是开创了一个范例：通过引入不同的概念并建立它们之间的联系，将困难的问题逐步转化，从而达到解决难题的目的。更加重要的意义在于：这一理论中所创立的群和域等重要概念，意味着以代数结构为研究对象的近世代数学的开始；而群论及其所描述的对称性，其应用和影响已经超出了数学领域，尤其是在物理学方面，群论取得了不可思议的有效性，它已经成为了科学技术乃至人文科学中的基本工具和观念之一。捋清了方程根式解问题的内涵之后，下面我们就一点点的往前推进，把伽罗瓦理论中的核心概念和逻辑慢慢地串起来，并好好欣赏它在证明方程根式解问题中所展现出来的威力和美感。